Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+mx+2（其中m∈R）與g（x）=x+3有交點．
（1）若實數(shù)x為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標．請寫出m關于x的函數(shù)關系式；
（2）在（I）的條件下．試利用單調(diào)性的定義求m（x）的單調(diào)區(qū)間：
（3）若對任意的實數(shù)x∈[1，+∞）．函數(shù)y=f（x）圖象恒在y=g（x）的圖象上方，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，求出實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩個函數(shù)有交點，通過判別式列出關系式即可．
（2）直接利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在x＜0與x＞0時都是減函數(shù)．得到單調(diào)區(qū)間．
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組借助（1）（2）的結(jié)論求解即可．

解答 解：（1）實數(shù)x為兩函數(shù)f（x）=x²+mx+2（其中m∈R）與g（x）=x+3圖象交點的橫坐標．
可得x²+mx+2=x+3．解得m=$-x+\frac{1}{x}+1$．
（2）設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
m（x₁）-m（x₂）=$-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}+1$+${x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}-1$=x₂-x₁+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
可得m（x₁）＞m（x₂），函數(shù)是減函數(shù)．
x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
m（x₁）-m（x₂）=$-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}+1$+${x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}-1$=x₂-x₁+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
可得m（x₁）＞m（x₂），函數(shù)是減函數(shù)．
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：（-∞，0），（0，+∞）．
（3）對任意的實數(shù)x∈[1，+∞）．函數(shù)y=f（x）圖象恒在y=g（x）的圖象上方，
就是x²+mx+2≥x+3．在x∈[1，+∞）恒成立．即m≥$-x+\frac{1}{x}+1$，在x∈[1，+∞）恒成立．
只需m≥（$-x+\frac{1}{x}+1$）_max，x∈[1，+∞），由（2）可知y=$-x+\frac{1}{x}+1$在x∈[1，+∞）的單調(diào)減函數(shù)，
可得（$-x+\frac{1}{x}+1$）_max=1，
∴m≥1．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性的應用，函數(shù)的最值，考查分析問題解決問題的能力．