Question

2．設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=0，試證至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使f′（ξ）=-$\frac{3f（ξ）}{ξ}$．

Answer 1

分析 設(shè)F（x）=x³f（x），可得F（1）=F（0）=0，根據(jù)羅爾定理，可得在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得F′（ξ）=0，進(jìn)而得到答案．

解答 證明：設(shè)F（x）=x³f（x），顯然函數(shù)F（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，
且F（0）=0f（0）=0，F(xiàn)（1）=1f（1）=0，
即F（0）=F（1）
所以根據(jù)羅爾定理，在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得F′（ξ）=3ξ²f（ξ）+ξ³f′（ξ）=0．
即3f（ξ）=-ξf′（ξ），
即f′（ξ）=-$\frac{3f（ξ）}{ξ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是羅爾定義的應(yīng)用，函數(shù)的連續(xù)性，難度中檔．