Question

9．已知A，B是焦點(diǎn)為F的拋物線y²=4x上的兩動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線x=t（t為常數(shù)且t＞0）上．
（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值（用t表示）；
（Ⅱ）求|AB|的最大值（用t表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）拋物線的定義直接求|FA|+|FB|的值（用t表示）；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過平方差法，求出直線AB的方程，利用弦長(zhǎng)公式求|AB|的表達(dá)式，然后求解最大值（用t表示）．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，m），則x₁+x₂=2t，y₁+y₂=2m．
由拋物線定義知：|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1．
所以|FA|+|FB|=x₁+x₂+2=2t+2．    …（6分）
（Ⅱ） 由 $\left\{\begin{array}{l}{y_1}^2=4{x_1}\\{y_2}^2=4{x_2}\end{array}\right.$得     （y₁+y₂） （y₁-y₂）=4（x₁-x₂），所以$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}$=$\frac{m}{2}$．故可設(shè)直線AB方程為$\frac{m}{2}$（y-m）=x-t，即x=$\frac{m}{2}$y-$\frac{m^2}{2}$+t．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{m}{2}y-\frac{m^2}{2}+t\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去x，得y²-2my+2m²-4t=0．
則△=16t-4m²＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=2m²-4t．所以
|AB|=$\sqrt{1+\frac{m^2}{4}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{（4t-{m^2}）（4+{m^2}）}$=$\sqrt{-{{[{m^2}-2（t-1）]}^2}+4{{（t+1）}^2}}$，
其中0≤m²＜4t．
當(dāng)t≥1時(shí)，因?yàn)?≤2t-2＜4t，所以，當(dāng)m²=2t-2時(shí)，|AB|取最大值
|AB|_max=2t+2．
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，因?yàn)?t-2＜0，所以，當(dāng)m²=0時(shí)，|AB|取最大值
|AB|_max=4$\sqrt{t}$．
綜上，|AB|_max=$\left\{\begin{array}{l}2t+2，\;\;\;\;t≥1\\ 4\sqrt{t}.\;\;\;\;\;0＜t＜1\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．