Question

1．如圖，⊙O的半徑OC垂直于直徑AB，M為OB上一點，CM的延長線交⊙O于N，過N點的切線交AB的延長線于P．
（1）求證：PM²=PB•PA；
（2）若⊙O的半徑為3，OB=$\sqrt{3}$OM，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）做出輔助線連接ON，根據(jù)切線得到直角，根據(jù)垂直得到直角，即∠ONC+∠CNP=90°且∠OCN+∠CMO=90°，根據(jù)同角的余角相等，得到角的相等關系，得到結論．
（2）本題是一個求線段長度的問題，在解題時，應用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所給的條件，得到要求線段的長．

解答 （1）證明：連接ON，則
∵PN切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONC+∠CNP=90°
∵OC=ON，
∴∠OCN=∠ONC
∵OC⊥AB于O，
∴∠OCN+∠CMO=90°，
故∠CNP=∠CMO=∠PMN，
∴PM=PN
∴PM²=PN²=PB•PA
（2）解：∵⊙O的半徑為3，OB=$\sqrt{3}$OM，
∴OM=$\sqrt{3}$，
∴CM=2$\sqrt{3}$，BM=4
∵CM•MN=AM•MB，
∴2$\sqrt{3}$MN=（3+$\sqrt{3}$）（3-$\sqrt{3}$），
∴MN=$\sqrt{3}$．

點評 本題要求證明一個PM²=PB•PA結論，實際上這是一個名叫切割線定理的結論，可以根據(jù)三角形相似對應邊成比例來證明，這是一個中檔題．