Question

（1）設直線l₁：y=2x與直線l₂：x+y=3交于點P，當直線l過P點，且原點O到直線l的距離為1時，求直線l的方程．
（2）已知圓C：x²+y²+4x-8y+19=0，過點P（-4，5）作圓C的切線，求切線方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程,直線的一般式方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）考慮兩種情況：①斜率不存在即所求直線與y軸平行時，容易直線的方程；②斜率存在時，設出直線的斜截式，然后利用點到直線的距離公式列出原點到直線l的距離的方程，求出斜率k即可得到方程；
（2）化圓的方程為標準方程，利用點線距離等于半徑，可求切線方程，應注意有兩條．

解答： 解：（1）當過點A（1，2）的直線與x軸垂直時，
則點A（1，2）到原點的距離為1，所以x=1為所求直線方程．
當過點A（1，2）且與x軸不垂直時，可設所求直線方程為y-2=k（x-1），
即：kx-y-k+2=0，由題意有

|-k+2|

k2+1

=1，解得k=

3

4

，
故所求的直線方程為y-2=

3

4

（x-1），即3x-4y+5=0．
綜上，所求直線方程為x=1或3x-4y+5=0．
（2）由C：x²+y²+4x-8y+19=0得圓的標準方程為（x+2）²+（y-4）²=1．
①顯然y=5為圓的切線
②另一方面，設過（-4，5）的圓的切線方程為y-5=k（x+4），即kx-y+5+4k=0；
所以d=

|-2k-4+5+4k|

k2+1

=1，解得k=-

4

3

，∴切線方程為4x+3y+1=0．
綜上所述，切線方程為y=5或4x+3y+1=0．

點評：本題考查圓的切線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．