Question

14．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，M是雙曲線C₂一條漸近線上的某一點(diǎn)，且OM⊥MF₂，若C₁，C₂的離心率相同，且S${\;}_{△OM{F}_{2}}$=16，則雙曲線C₂的實(shí)軸長為（　�。�

• A． 4
• B． 8
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 求得雙曲線C₁的離心率，求得雙曲線C₂一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理解方程可得a=8，進(jìn)而得到雙曲線的實(shí)軸長．

解答 解：雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
設(shè)F₂（c，0），雙曲線C₂一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得|F₂M|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b，
即有|OM|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
由S${\;}_{△OM{F}_{2}}$=16，可得$\frac{1}{2}$ab=16，
即ab=32，又a²+b²=c²，且$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得a=8，b=4，c=4$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的實(shí)軸長為16．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和離心率公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．