Question

7．若函數(shù)f（x）=1+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$是奇函數(shù)，則a的值是（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=1+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$是奇函數(shù)，可得f（-x）+f（x）=0，（x≠0）．化簡整理即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=1+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，（x≠0）．
∴1+$\frac{a}{{a}^{-x}-1}$+1+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$=0，
化為：2+$\frac{{a}^{x+1}}{1-{a}^{x}}$+$\frac{a}{{a}^{x}-1}$=0，
∴2（1-a^x）+a^x+1-a=0，
∴（2-a）（1-a^x）=0，對定義域內(nèi)的x都成立．
解得a=2．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、指數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．