Question

19．已知直線y=kx（$\frac{3}{2}$＜k＜$\frac{8}{3}$）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）交于不同的兩點P，Q，若點P，Q在x軸上的射影恰好為該雙曲線的兩個焦點，則該雙曲線離心率e的取值范圍為（2，3）．

Answer 1

分析 把（c，0）代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，將（c，$\frac{^{2}}{a}$）代入直線方程，求得k，由k的范圍和雙曲線的基本量的關(guān)系和離心率公式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：把（c，0）代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
由直線y=kx與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的交點在實軸上射影恰好為雙曲線的焦點，
可設(shè)P（c，$\frac{^{2}}{a}$），Q（-c，-$\frac{^{2}}{a}$），
可得k=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c}$=$\frac{^{2}}{ac}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}$=$\frac{{e}^{2}-1}{e}$，
由$\frac{3}{2}$＜k＜$\frac{8}{3}$，可得$\frac{3}{2}$＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$＜$\frac{8}{3}$，
由2e²-3e-2＞0，解得e＞2；
由3e²-8e-3＜0，解得e＜3．
由e＞1，可得2＜e＜3．
故答案為：（2，3）．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，主要是考查離心率的范圍，考查學(xué)生的計算能力，確定P，Q的坐標是關(guān)鍵．