Question

4．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x＞0}\\{-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若不等式f（x-2）≥f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，則a的最大值為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別討論x的取值范圍，利用參數(shù)分離法求出a的范圍即可得到結(jié)論．

解答 解：∵不等式f（x-2）≥f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，
∴若x≤0，則x-2≤-2．
則不等式f（x-2）≥f（x）等價(jià)為，-2（x-2）≥-2x，
即4≥0，此時(shí)不等式恒成立，
若0＜x≤2，則x-2≤0，
則不等式f（x-2）≥f（x）等價(jià)為，-2（x-2）≥ax²+x，
即ax²≤4-3x，
則a≤$\frac{4-3x}{{x}^{2}}$=$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，
設(shè)h（x）=$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$=4（$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{8}$）²-$\frac{9}{16}$，
∵0＜x≤2，∴$\frac{1}{x}$≥$\frac{1}{2}$，
則h（x）≥-$\frac{1}{2}$，∴此時(shí)a≤-$\frac{1}{2}$，
若x＞2，則x-2＞0，
則f（x-2）≥f（x）等價(jià)為，a（x-2）²+（x-2）≥ax²+x，
即4a（1-x）≥2，
∵x＞2，∴-x＜-2，1-x＜-1，
則不等式等價(jià)，4a≤$\frac{2}{1-x}$=-$\frac{2}{x-1}$
即2a≤-$\frac{1}{x-1}$
則g（x）=-$\frac{1}{x-1}$在x＞2時(shí)，為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（2）=-1，
即2a≤-1，則a≤-$\frac{1}{2}$，
故a的最大值為-$\frac{1}{2}$，
方法2：作出函數(shù)f（x）和f（x-2）的圖象，
當(dāng)a≥0時(shí)，f（x-2）≥f（x）對(duì)一切x∈R不恒成立，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=-2x，x≤0，f（x-2）=-2（x-2），則f（x-2過定點(diǎn)（2，0），
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=ax²+x的兩個(gè)零點(diǎn)為x=0和x=-$\frac{1}{a}$，
要使不等式f（x-2）≥f（x）對(duì)一切x∈R恒成立，
則只需要-$\frac{1}{a}$≤2，得a≤-$\frac{1}{2}$，
即a的最大值為-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．