Question

9．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的一條漸近線l的傾斜角為$\frac{π}{3}$，且C的一個焦點到l的距離為$\sqrt{3}$，則C的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 求出雙曲線的一條漸近線方程，可得b=$\sqrt{3}$a，再由點到直線的距離公式，計算可得a，b，進而得到所求雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的一條漸近線l的方程為y=$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
即b=$\sqrt{3}$a，
由C的一個焦點到l的距離為$\sqrt{3}$，可得
$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=$\sqrt{3}$，
解得a=1，
則雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案為：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題．