Question

【題目】在正方體中，已知點在直線上運動，則下列四個命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當為中點時，二面角 的余弦值為；④若正方體的棱長為2，則的最小值為；其中說法正確的是____________（寫出所有說法正確的編號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①∵，∴平面，得出上任意一點到平面的距離相等，所以判斷命題①；

②由已知得出點P在面上的射影在上，根據線面垂直的判定和性質或三垂線定理，可判斷命題②；

③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；

④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內，根據對稱性和兩點之間線段最短，可求得當點在點時，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.

①∵，∴平面，所以上任意一點到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；
②在直線上運動時，點P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；

③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，設正方體的棱長為2.

則:，，所以，

設面的法向量為，則，即，令，則，

設面的法向量為， ，即，

，由圖示可知，二面角 是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；

④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內，

則，所以，當點在點時，在一條直線上，取得最小值.

因為正方體的棱長為2，所以設點的坐標為，，，所以，

所以，又所以，

所以，，，故④正確.
故答案為：①②④.