Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一部分如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x$∈[\frac{1}{3}，2]$時(shí)，求函數(shù)y=f（x-1）+f（x+1）的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）由圖象知A=2，由周期公式可求得ω，又圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），可求得φ，即可得解函數(shù)解析式；
（2）由已知及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求函數(shù)y=f（x-1）+f（x+1）=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由圖象知A=2，$\frac{T}{4}$=2，…（1分）
∴T=8=$\frac{2π}{ω}$，
∴得ω=$\frac{π}{4}$．…（3分）
又圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），
∴2sin（-$\frac{π}{4}$+φ）=0．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴由-$\frac{π}{4}$+φ=0，得φ=$\frac{π}{4}$，故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．…（6分）
（2）y=f（x-1）+f（x+1）
=2sin[$\frac{π}{4}$（x-1）x+$\frac{π}{4}$]+2sin[$\frac{π}{4}$（x+1）+$\frac{π}{4}$]
=2sin$\frac{π}{4}$x+2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{2}$）
=2sin$\frac{π}{4}$x+2cos$\frac{π}{4}$x
=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$），…（9分）
∵令g（x）=2$\sqrt{2}$sint，當(dāng)x$∈[\frac{1}{3}，2]$時(shí)，t∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴當(dāng)t=$\frac{π}{2}$時(shí)，$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，可得：x=1時(shí)，f（x）_max=2$\sqrt{2}$，…（10分）
當(dāng)t=$\frac{3π}{4}$時(shí)，$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，可得：x=2時(shí)，f（x）_min=2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．