Question

如圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα＝－2．在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路AM，AN的距離分別為3km，km．現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區(qū)域ABC建成一個(gè)工業(yè)園．為盡量減少耕地占用，問(wèn)如何確定B點(diǎn)的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最��？并求最小面積．

 

Answer 1

解：（方法一）

如圖1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

因?yàn)閠anα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．

設(shè)點(diǎn)P(x₀，y₀)．

因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y₀＝3．

由P到直線AN的距離為，

得＝，解得x₀＝1或x₀＝－4(舍去)，

所以點(diǎn)P(1，3)．                             

顯然直線BC的斜率存在．設(shè)直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．

令y＝0得x_B＝1－．                         

由解得y_C＝．             

設(shè)△ABC的面積為S，則S＝×x_B×y_C＝＝－1＋．   

由S¢＝＝0得k＝－或k＝3．

當(dāng)－2＜k＜－時(shí)，S¢＜0，S單調(diào)遞減；當(dāng)－＜k＜0時(shí)，S¢＞0，S單調(diào)遞增

所以當(dāng)k＝－時(shí)，即AB＝5時(shí)，S取極小值，也為最小值15． 

答：當(dāng)AB＝5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km²．

（方法二）

如圖1，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

因?yàn)閠anα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．

設(shè)點(diǎn)P(x₀，y₀)．

因?yàn)辄c(diǎn)P到AM的距離為3，故y₀＝3．

由P到直線AN的距離為，

得＝，解得x₀＝1或x₀＝－4(舍去)，

所以點(diǎn)P(1，3)．                               

顯然直線BC的斜率存在．設(shè)直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．

令y＝0得x_B＝1－．                       

由解得y_C＝．              

設(shè)△ABC的面積為S，則S＝×x_B×y_C＝＝－1＋．    

令8k－9＝t，則t∈(－25，－9)，從而k＝．

因此S＝－1＋＝－1＋＝－1＋．

因?yàn)楫?dāng)t∈(－25，－9)時(shí)，t＋∈(－34，－30]，

當(dāng)且僅當(dāng)t＝－15時(shí)，此時(shí)AB＝5，34＋t＋的最大值為4．從而S有最小值為15．

答：當(dāng)AB＝5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km²

（方法三）

如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F，連接PA．設(shè)AB＝x，AC＝y．

因?yàn)?i>P到AM，AN的距離分別為3，，

    即PE＝3，PF＝．

由S_△ABC＝S_△ABP＋S_△APC

＝×x×3＋×y× ＝(3x＋y)．  ① …… 4分

因?yàn)閠ana＝－2，所以sina＝． 

所以S_△ABC＝×x×y× ．  ②            

由①②可得×x×y× ＝(3x＋y)．

即3x＋5y＝2xy． ③                   

因?yàn)?x＋5y≥2，所以 2xy≥2．

解得xy≥15．                       

當(dāng)且僅當(dāng)3x＝5y取“＝”，結(jié)合③解得x＝5，y＝3．

所以S_△ABC＝×x×y× 有最小值15．

答：當(dāng)AB＝5km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為15km²．