Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{g（x）-3}$+2g（x），其中g(shù)（x）∈[7，12]，則f（x）的值域?yàn)閇16，27]．

Answer 1

分析 利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：令t=$\sqrt{g（x）-3}$，則t²=g（x）-3，即g（x）=t²+3，
∵g（x）∈[7，12]，∴g（x）-3∈[4，9]，
則t∈[2，3]，
則函數(shù)等價(jià)為y=t+2（t²+3）=2t²+t+6，對(duì)稱軸為t=-$\frac{1}{2×2}$=-$\frac{1}{4}$，
則函數(shù)在[2，3]上為真命題．
則當(dāng)t=2時(shí)，y=16，
當(dāng)t=3時(shí)，y=27，
即16≤y≤27，即函數(shù)的值域?yàn)閇16，27]，
故答案為：[16，27]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．