Question

6．在△ABC中，已知三角形的周長(zhǎng)是16，且已知B點(diǎn)與C點(diǎn)的坐標(biāo)為B（-3，0）、C（3，0）．
（1）求A點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）已知直線y=kx-5與軌跡C的圖象相交，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，由題意可得AB+AC=10＞BC，故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，除去與x軸的交點(diǎn)，利用橢圓的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)求出a、b 的值，即得頂點(diǎn)A的軌跡方程．
（2）直線y=kx-5與軌跡C聯(lián)立，利用判別式大于0，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）∵B點(diǎn)與C點(diǎn)的坐標(biāo)為B（-3，0）、C（3，0），且△ABC的周長(zhǎng)等于16，
∴AB+AC=10＞BC，故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，除去與x軸的交點(diǎn)，
∴2a=10，c=3，
∴b=4，故頂點(diǎn)A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1（y≠0）．
（2）直線y=kx-5與軌跡C聯(lián)立，可得（16+25k²）x²-250kx+225=0，
∴△=62500k²-4×225×（16+25k²）＞0，
∴k＜-$\frac{3}{5}$或k＞$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，注意軌跡方程中y≠0，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．屬于中檔題．