19．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5cm、10cm，母線(xiàn)長(zhǎng)AB=20cm，從圓臺(tái)母線(xiàn)AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到A點(diǎn)（A在上底面），求：
（1）繩子的最短長(zhǎng)度；
（2）在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離；
（3）圓錐底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為4r，求從底面邊緣一點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周再回到A的最短距離．

分析 （1）由題意需要畫(huà)出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，并還原成圓錐展開(kāi)的扇形，則所求的最短距離是平面圖形兩點(diǎn)連線(xiàn)；
（2）根據(jù)條件求出扇形的圓心角以及半徑長(zhǎng)，在求出最短的距離；
（3）畫(huà)出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，有（1）中結(jié)論，可得圓心角θ=$\frac{π}{2}$，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）畫(huà)出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，

并還原成圓錐展開(kāi)的扇形，且設(shè)扇形的圓心為O．
有圖得：所求的最短距離是MB'，
設(shè)OA=R，圓心角是θ，則由題意知，
10π=θR  ①，20π=θ（20+R）  ②，由①②解得，θ=$\frac{π}{2}$，R=20，
∴OM=30，OB'=40，則MB'=50cm．
故繩子最短的長(zhǎng)度為：50cm．
（2）作OC垂直于B'M交于D，OC是頂點(diǎn)O到MB'的最短距離，
則DC是MB'與弧AA'的最短距離，DC=OC-OD=$\frac{OM•OB′}{MB′}$-20=4cm，
即繩子上各點(diǎn)與上底面圓周的最短距離是：4cm．
（3）畫(huà)出圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，

∵圓錐底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為4r，
則圓心角θ=$\frac{π}{2}$，
故從底面邊緣一點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周再回到A的最短距離為：4$\sqrt{2}$r．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了在幾何體表面的最短距離的求出，一般方法是把幾何體的側(cè)面展開(kāi)后，根據(jù)題意作出最短距離即兩點(diǎn)連線(xiàn)，結(jié)合條件求出，考查了轉(zhuǎn)化思想．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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9．已知函數(shù)f（x）=lnx+x-2的零點(diǎn)x0∈[a，b]，且b-a=1，a，b∈N*，則a+b=（　�。�
A．2B．3C．4D．5

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10．已知點(diǎn)A（2，4）在拋物線(xiàn)y2=2px上，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)的離心率為2，則該雙曲線(xiàn)的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

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7．則“x=2”是“x2-3x+2=0”的（　�。�
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

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14．偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+4）=f（x），且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，1＜x＜2}\\{lo{g}_{3}x，0＜x＜1}\end{array}\right.$，設(shè)a=f（-9.3），b=f（-2.8），c=f（-7.3），則a，b，c的大小關(guān)系為（　�。�
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b

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4．已知A、B分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)F1作PF1⊥x軸，與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，且OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2是右焦點(diǎn)，求∠F1QF2的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)QF2⊥AB時(shí)，延長(zhǎng)QF2交橢圓另一點(diǎn)M，若△F1MQ面積為20$\sqrt{3}$，求此時(shí)橢圓的方程．

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11．如圖，∠AOP=$\frac{π}{3}$，Q點(diǎn)與P點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，P，Q都為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，求：
（1）P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）∠AOQ的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值．

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8．若直線(xiàn)l1：y=kx-2和直線(xiàn)l2：2x+y=4的交點(diǎn)在第一象限，則直線(xiàn)l1的傾斜角的范圍是（　�。�
A．（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）B．（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）C．（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]D．（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]

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9．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上．
 （I）求橢圓C的方程；
（II）設(shè)橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4^{2}}$=1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)y=kx+m交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．射線(xiàn)PO交橢圓E于點(diǎn)Q．
（i）求$\frac{|OQ|}{|OP|}$的值，（ii）求△ABQ面積的最大值．

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