Question

10．已知點(diǎn)A（2，4）在拋物線(xiàn)y²=2px上，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)的離心率為2，則該雙曲線(xiàn)的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由題意求出p，得到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，進(jìn)一步求出雙曲線(xiàn)的半焦距，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求出b，則雙曲線(xiàn)方程可求．

解答 解：∵點(diǎn)A（2，4）在拋物線(xiàn)y²=2px上，
∴16=4p，即p=4．
∴拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-2．
又拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，
則c=2，而$e=\frac{c}{a}=2$，∴a=1，
則b²=c²-a²=4-1=3．
∴雙曲線(xiàn)方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
故答案為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線(xiàn)方程的求法，是基礎(chǔ)題．