Question

16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若a=3，b=2c，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得2sinBcosA=sinB，由sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A的范圍，即可解得A的值．
（Ⅱ）由b=2c及余弦定理可求得cosA=$\frac{1}{2}$，解得c，b，由三角形面積公式即可得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ） 由（2b-c）cosA=acosC，得：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
得：2sinBcosA=sin（A+C），所以2sinBcosA=sinB，…（4分）
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，因?yàn)?＜A＜π，
所以解得：A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ） 因?yàn)閎=2c．所以cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4{c}^{2}+{c}^{2}-9}{4{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得c=$\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$．…（10分）
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin A=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，三角形面積公式的綜合應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．