Question

8．如圖，已知直線l：y=kx-2與拋物線C：x²=-2py（p＞0）交于A，B兩點，線段AB的中點坐標為（-2，-6）．
（Ⅰ）求直線l和拋物線C的方程；
（Ⅱ）求線段AB的長；
（Ⅲ）拋物線上一動點P從A到B運動時，求△ABP面積最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入點（-2，-6），求得k=2，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理，由題意可得p=1，即可得到拋物線的方程；
（Ⅱ）運用弦長公式：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|，計算即可得到；
（Ⅲ）當點P到直線AB的距離h最大時，△ABP的面積最大．設與AB平行的直線l'的方程為y=2x+m，聯(lián)立拋物線方程，由判別式為0，可得m=2，由兩平行直線的距離公式即可求得h的最大值，計算可得面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知，點（-2，-6）在直線l上，
所以-6=-2k-2，解得k=2，
所以直線l的方程為y=2x-2．     
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=-2py\;，\;\\ y=2x-2\;，\;\end{array}\right.$消去y，得x²+4px-4p=0，
所以x₁+x₂=-4p，x₁•x₂=-4p．
所以-4p=-4，解得p=1．
所以拋物線的方程為x²=-2y．             
（Ⅱ）$|AB|\;=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|\;=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{5}•\sqrt{32}=4\sqrt{10}$．    
（Ⅲ）當點P到直線AB的距離h最大時，△ABP的面積最大．
設與AB平行的直線l'的方程為y=2x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=-2py\;，\;\\ y=2x+m\;，\;\end{array}\right.$消去y，得x²+4x+2m=0，
由△=0，解得m=2．
所以l'的方程為y=2x+2．              
所以${h_{max}}=\frac{|2-（-2）|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
所以△ABP面積的最大值為${S_{max}}=\frac{1}{2}×{h_{max}}×|AB|\;=\;\frac{1}{2}×4\sqrt{10}×\frac{{4\sqrt{5}}}{5}=8\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的方程的性質，主要考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，同時考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．