Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0），求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)a大于0與小于0，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得到函數(shù)的單調(diào)性與極值．

解答 解：f′（x）=3（x²-a）（a≠0）．
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；此時(shí)函數(shù)f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)．
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=±$\sqrt{a}$．
當(dāng)x∈（-∞，-$\sqrt{a}$）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\sqrt{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
此時(shí)x=-$\sqrt{a}$是f（x）的極大值點(diǎn)，x=$\sqrt{a}$是f（x）的極小值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值的求法，考查計(jì)算能力．