Question

13．已知直線y=-x+4與圓x²+y²=r²（r＞0）交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)C滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{4}\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$，則r=2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設(shè)＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=θ，由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{4}\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$兩邊同時(shí)平方可求cosθ，結(jié)合θ的范圍及公式cosθ=2cos²$\frac{θ}{2}$-1可求cos $\frac{θ}{2}$，結(jié)合三角函數(shù)及點(diǎn)到直線的距離公式可求圓心O到直線x+y-4=0的距離為d，進(jìn)而可求r．

解答 解：由題意可得，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=r
設(shè)＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=θ，θ∈[0，π]
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cosθ=r²cosθ
∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{4}\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$，兩邊同時(shí)平方可得，${\overrightarrow{OC}}^{2}$=$\frac{25}{16}$$\overrightarrow{OA}$²+$\frac{6}{16}{\overrightarrow{OB}}^{2}$+$\frac{15}{8}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$
即r²=$\frac{25}{16}$r²+$\frac{9}{16}$r²+r²cosθ×$\frac{15}{8}$，
∴cosθ=-$\frac{3}{5}$，
∵cosθ=2cos²$\frac{θ}{2}$-1，$\frac{θ}{2}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴且cos$\frac{θ}{2}$＞0，
∴cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
設(shè)圓心O到直線x+y-4=0的距離為d，則d=rcos$\frac{θ}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$
即$\frac{\sqrt{5}}{5}$r=$2\sqrt{2}$，
∴r=2$\sqrt{10}$．
故答案為：$2\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓心的位置關(guān)系，三角函數(shù)知識的靈活的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵．