Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow$=（2$\sqrt{2}$，1），且λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$（λ∈R），則f（x）=3x+$\frac{|λ|}{x+1}$（x＞-1）的最小值為（　�。�

• A． 10
• B． 9
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 可設(shè)$\overrightarrow{a}=（x，y）$，從而由條件：$|\overrightarrow{a}|=1，λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{0}$便可得到關(guān)于λ的方程組，$\left\{\begin{array}{l}{λx+2\sqrt{2}=0}\\{λy+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，容易解出λ=±3，然后將f（x）變成$f（x）=3（x+1）+\frac{3}{x+1}-3$，根據(jù)基本不等式即可得出f（x）的最小值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{a}=（x，y）$，則$λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（λx+2\sqrt{2}，λy+1）=\overrightarrow{0}$；
又$|\overrightarrow{a}|=1$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λx+2\sqrt{2}=0}\\{λy+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$；
解得λ=±3；
∴|λ|=3；
∵x＞-1；
∴x+1＞0；
∴$f（x）=3x+\frac{3}{x+1}=3（x+1）+\frac{3}{x+1}-3$≥6-3=3，當(dāng)x=0時(shí)取“=”；
∴f（x）的最小值為3．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度，以及利用基本不等式求函數(shù)最值，注意判斷等號(hào)能否取到．