Question

4．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（Ⅰ）證明：無論m取什么實(shí)數(shù)，l與圓恒交于兩點(diǎn)；
（Ⅱ）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得所給的直線經(jīng)過x+y-4=0 和2x+y-7=0的交點(diǎn)M（3，1），而點(diǎn)M在圓C：（x-1）²+（y-2）²=25的內(nèi)部，從而得到l與圓恒交于兩點(diǎn)．
（Ⅱ）弦長最小時，MC和弦垂直，再利用點(diǎn)斜式求得弦所在的直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）證明：直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 x+y-4+m（2x+y-7）=0，
恒經(jīng)過直線x+y-4=0 和2x+y-7=0的交點(diǎn)M（3，1），
而點(diǎn)M到圓心C（1，2）的距離為MC=$\sqrt{{（3-1）}^{2}{+（1-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$＜半徑5，
故點(diǎn)M在圓C：（x-1）²+（y-2）²=25的內(nèi)部，故l與圓恒交于兩點(diǎn)．
（Ⅱ）弦長最小時，MC和弦垂直，故弦所在的直線l的斜率為$\frac{-1}{{K}_{MC}}$=$\frac{-1}{\frac{1-2}{3-1}}$=2，
故直線l的方程為y-1=2（x-3），即 2x-y-5=0．

點(diǎn)評 本題主要考查直線經(jīng)過定點(diǎn)問題，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．