【題目】(2016·廣州模擬)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,側棱AA1⊥底面ABC,ABAC2AA1BAC120°,D,D1分別是線段BC,B1C1的中點,過線段AD的中點PBC的平行線,分別交ABAC于點M,N.

(1)證明:MN⊥平面ADD1A1

(2)求二面角AA1MN的余弦值.

【答案】(1)詳見解析;(2).

【解析】試題分析:1)要證線面垂直,就要證線線垂直,即要證與平面內兩條相交直線垂直,首先由三棱柱側棱與底面垂直可得,由等腰三角形性質知,從而有,因此即證線面垂直;(2要求二面角,關鍵是作出二面角的平面角,一般要找到二面角的一個面的垂線,則平面角易作,因此我們連接,作,由(1)可證平面,根據(jù)三垂線定理可得所求二面角的平面角,并在相應直角三角形中可求得此角大小.

試題解析:(1)因為ABAC,DBC的中點,

所以BCAD.

由題可知MNBC

所以MNAD.

因為AA1⊥平面ABC,MN平面ABC,

所以AA1MN.

AD,AA1在平面ADD1A1內,且ADAA1相交于點A,

所以MN⊥平面ADD1A1.

(2)解 如圖,連結A1P,過點AAEA1P于點E,過點EEFA1M于點F,連結AF.

(1)知,MN⊥平面AEA1

所以平面AEA1⊥平面A1MN.

因為平面AEA1平面A1MNA1P,AEA1P,AE平面AEA1,

所以AE⊥平面A1MN,則A1MAE,又AEEFE,

所以A1M⊥平面AEF,則A1MAF,

故∠AFE為二面角AA1MN的平面角(設為θ)

AA11,則由ABAC2AA1,∠BAC120°

DBC的中點,有∠BAD60°,AB2,AD1.

PAD的中點,MAB的中點,

所以AP,AM1.

RtAA1P中,A1P,

RtA1AM中,A1M,

從而AE,

AF

所以sinθ.

因為∠AFE為銳角,

所以.

故二面角AA1MN的余弦值為.

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