Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-4|，x∈[0，m]，其中m∈R且m＞0．
（1）若函數(shù)f（x）的值域是[0，4]，求m的取值范圍．
（2）若函數(shù)f（x）的值域是[0，λm²]，試求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）去掉絕對值，畫出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象即可求得m的取值范圍；
（2）結(jié)合圖象，討論m的取值，用m表示出λ，根據(jù)m的取值，從而求得λ在每種情況下的最小值，對每種情況下的λ作比較，取最小的即可．

解答： 解：（1）f（x）=x|x-4|=

-x2+4x=-(x-2)2+4 0≤x≤4 x2-4x=(x-2)2-4 x＞4

；
該函數(shù)圖象如下：

當(dāng)x＞4時，令x²-4x=4得x=2+2

2

，
∵f（x）的值域?yàn)閇0，4]，由圖象可得2≤m≤2+2

2

，
∴m的取值范圍為[2，2+2

2

]；
（2）當(dāng)0＜m≤2時，-m²+4m=λm²，解得λ=

4

m

-1，
∵0＜m≤2，∴

1

m

≥

1

2

，

4

m

-1≥1，∴此時λ最小值為1；
當(dāng)2＜m≤2+2

2

時，λm2=4，λ=

4

m2

，
∵2＜m≤2+2

2

，∴4＜m2≤12+8

2

，

4

m2

≥

1

3+2 2

=3-2

2

，
∴此時λ最小值為3-2

2

；
當(dāng)m≥2+2

2

時，m²-4m=λm²，解得λ=1-

4

m

，
∵m≥2+2

2

，∴0＜

4

m

≤2

2

-2，
∴1-

4

m

≥3-2

2

，∴此時λ最小值為3-2

2

；
綜上得λ的最小值為3-2

2

．

點(diǎn)評：本題考查處理絕對值函數(shù)的方法，利用分段函數(shù)圖象解決問題的方法，以及二次函數(shù)圖象及值域，根據(jù)λ的范圍求λ最小值的方法．