Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)不等式f（x）+xf′（x）＜0總成立，若記a=2^0.2•f（2^0.2），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（-3）•f（log₃

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），則a，b，c的大小關(guān)系為（　�。�

• A、a＞b＞c
• B、a＞c＞b
• C、c＞b＞a
• D、c＞a＞b

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)不等式f（x）+xf′（x）＜0總成立，可得（xf（x））′＜0，令F（x）=xf（x），可得F（x）是偶函數(shù)．函數(shù)F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．可得函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．由于0＜logπ3＜20.2＜3，即可得出．

解答： 解：定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)不等式f（x）+xf′（x）＜0總成立，
∴（xf（x））′＜0，
令F（x）=xf（x），∴F（-x）=-xf（-x）=xf（x）=F（x）．
∴函數(shù)F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵0＜logπ3＜20.2＜3，a=2^0.2•f（2^0.2），b=（log_π3）•f（log_π3），
c=（-3）•f（log₃

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）=3f（3），
∴b＜a＜c．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．