Question

14．已知圓C的方程為：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）求m的取值范圍；
（2）若圓C與直線3x+4y-6=0交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求m的值；
（3）設(shè)直線x-y-1=0與圓C交于A、B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，由求出當(dāng)m＜5時(shí)，曲線C表示圓；
（2）由已知條件推導(dǎo)出圓心C（1，2），半徑r=$\sqrt{5-m}$，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長公式，結(jié)合已知條件能求出m=1；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，則OA⊥OB，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+m=0}\end{array}\right.$，得2x²-8x+5+m=0，由此能求出存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)．

解答 解：（1）∵x²+y²-2x-4y+m=0，
由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5，
∴當(dāng)m＜5時(shí)，曲線C表示圓；
（2）∵x²+y²-2x-4y+m=0，
∴（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∴圓心C（1，2），半徑r=$\sqrt{5-m}$，
∵圓心C（1，2）到直線3x+4y-6=0的距離d=$\frac{|3+8-6|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
又|MN|=2$\sqrt{3}$，由r²=d²+3，即5-m=1+3，
解得m=1；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，則OA⊥OB，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+m=0}\end{array}\right.$，
得2x²-8x+5+m=0，
∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，
故m＜3，x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{5+m}{2}$，
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=$\frac{m+5}{2}$-4+1=$\frac{m-1}{2}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{5+m}{2}$+$\frac{m-1}{2}$=m+2=0，
∴m=-2＜3，
故存在實(shí)數(shù)m使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，m=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程表示圓時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．