Question

3．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC邊所在的直線方程為4x+y-20=0，則拋物線方程為（　　）

• A． y²=16x
• B． y²=8x
• C． y²=-16x
• D． y²=-8x

Answer 1

分析 設(shè)拋物線S的方程為y²=2px，將直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線l與拋物線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)得到根的判別式大于0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用重心公式即可求得p值，從而求得拋物線方程．

解答 解：設(shè)拋物線S的方程為y²=2px．
由$\left\{\begin{array}{l}{4x+y-20=0}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得2y²+py-20p=0．
由△p²+160p＞0，得p＞0，或p＜-160．
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{p}{2}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=（5-\frac{{y}_{1}}{4}）+（5-\frac{{y}_{2}}{4}）$=10-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{4}$=10+$\frac{p}{8}$．
設(shè)A（x₃，y₃），由△ABC的重心為F（$\frac{p}{2}$，0），
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}=\frac{p}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}=0$，
∴${x}_{3}=\frac{11}{8}p-10$，${y}_{3}=\frac{p}{2}$．
∵點(diǎn)A在拋物線S上，
∴$（\frac{p}{2}）^{2}=2p（\frac{11}{8}p-10）$，解得p=8．
∴拋物線S的方程為y²=16x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、恒過(guò)定點(diǎn)的直線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．