Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）的=x+$\frac{a}{x}$圖象過點(diǎn)A（2，$\frac{5}{2}$）．
（I）求實(shí)數(shù)a的值，并證明f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（Ⅱ）證明函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （I）利用函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)，列出方程求解實(shí)數(shù)a的值，利用函數(shù)是奇函數(shù)證明f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的=x+$\frac{a}{x}$的圖象過點(diǎn)A（2，$\frac{5}{2}$）．，
所以    $\frac{5}{2}$=2+$\frac{a}{2}$⇒a=1，…（2分）
于是，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，因?yàn)?f（-x）=-x+\frac{1}{-x}=-f（x）$，
且函數(shù)f（x）在定義域?yàn)閧x|x≠0}，所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
所以而f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．…（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁，x₂是（0，1）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}={x_1}-{x_2}+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$．
由x₁，x₂∈（0，1），得0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
又由x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，計(jì)算能力．