Question

4．設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a+b+c≤3，求證：$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1+b}$+$\frac{1}{1+c}$≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由基本不等式可得$\frac{1+a}{4}$+$\frac{1}{1+a}$≥1，$\frac{1+b}{4}$+$\frac{1}{1+b}$≥1，$\frac{1+c}{4}$+$\frac{1}{1+c}$≥1，運(yùn)用累加法和不等式的性質(zhì)，即可得到要證的不等式．

解答 證明：由a、b、c均為正數(shù)，且a+b+c≤3，
則$\frac{1+a}{4}$+$\frac{1}{1+a}$≥2$\sqrt{\frac{1+a}{4}•\frac{1}{1+a}}$=1，
同理可得$\frac{1+b}{4}$+$\frac{1}{1+b}$≥1，
$\frac{1+c}{4}$+$\frac{1}{1+c}$≥1，
相加可得，$\frac{1+a}{4}$+$\frac{1+b}{4}$+$\frac{1+c}{4}$+$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1+b}$+$\frac{1}{1+c}$≥3，
即有$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1+b}$+$\frac{1}{1+c}$≥3-$\frac{3}{4}$-$\frac{a+b+c}{4}$≥$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1，上式取得等號(hào)．
則有原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，主要考查基本不等式的運(yùn)用，運(yùn)用累加法和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．