9．要在一個(gè)半徑為R的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形ABCD，問(wèn)應(yīng)如何截取，并求此矩形的面積．

分析 根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)和圖形求出矩形的長(zhǎng)和寬，再表示出矩形的面積，利用倍角的正弦公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的最值求出矩形面積的最大值．

解答 解：令∠BOC=θ，由圖得，BC=rsinθ，AB=2rcosθ，
∴S=AB×BC=2rcosθ×rsinθ=r2sin2θ，
當(dāng)θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，sin2θ=1，
∴∠BOC為$\frac{π}{4}$，矩形的面積最大為r2．

點(diǎn)評(píng) 本題是實(shí)際問(wèn)題為背景，考查了倍角的正弦公式，以及直角三角形中的三角函數(shù)，注重?cái)?shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．如圖，AB為圓O的直徑，PB，PC分別與圓O相切于B，C兩點(diǎn)，延長(zhǎng)BA，PC相交于點(diǎn)D．
（Ⅰ）證明：AC∥OP；
（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．

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20．在閣樓上有一個(gè)直徑為4m的半圓形窗洞，設(shè)計(jì)師要設(shè)計(jì)一個(gè)矩形窗戶(hù)，要求其兩個(gè)頂點(diǎn)落在圓的直徑，另兩個(gè)頂點(diǎn)落在圓的軌跡上．
（1）根據(jù)所給條件，建立合理體系，并寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求矩形面積S與一邊的長(zhǎng)a的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)一邊的長(zhǎng)a為多少時(shí)，面積S最大值？求其最大值．

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17．在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)C：ρ2+2ρsinθ+$\frac{3}{4}$=0（ρ∈R），l為過(guò)定點(diǎn)（2，-1）且與直線(xiàn)θ=$\frac{π}{4}$平行的直線(xiàn)，A、B分別為曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）將曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l分別化為直角坐標(biāo)系下的方程；
（2）求|AB|的最小值．

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4．設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a+b+c≤3，求證：$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1+b}$+$\frac{1}{1+c}$≥$\frac{3}{2}$．

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14．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．
（1）證明：DE∥平面ABC；
（2）證明：AD⊥BE．

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1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax}{lnx}$
（1）若f（x）＞0對(duì)其定義域內(nèi)任意x成立，求a的值；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）在區(qū)間[e${\;}^{\frac{1}{4}}$，e]上最值．

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18．已知函數(shù)f（x）=ax2-（2a+1）x+lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=2ax2-2（a+1）x恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=ex-x-1，若對(duì)任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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19．如圖三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC1∥平面A1CM；
（Ⅱ）若CA=CB，A1在平面ABC的射影為M，求證：平面A1CM⊥平面ABB1 A1．

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