Question

20．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，a與b的夾角為120°，且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 150°

Answer 1

分析 由已知得到$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的數(shù)量積為-1，$\overrightarrow{c}$=$-\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|，利用數(shù)量積公式可求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角．

解答 解：因?yàn)閨$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，a與b的夾角為120°，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos120°=-1，由$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，得到$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=-$\overrightarrow{c}$，
所以，|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=${\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}=\sqrt{4}}^{\;}$=2，
所以$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角的余弦值為$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•（-\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{2}=\frac{{-\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{2}$=$\frac{-1+1}{2}$=0，
所以$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為90°；
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用求向量的夾角．關(guān)鍵是公式的熟練運(yùn)用．