Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左焦點為F，點P為雙曲線右支上一點，點A滿足$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=0，則點A到原點的最近距離為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 設F'為雙曲線的右焦點，M為PF的中點，則|PF|-|PF'|=2$\sqrt{2}$，|OM|=$\frac{1}{2}$|PF'|，點A在以PF為直徑的圓上，故當O，A，M共線時，可得OA取得最小值MA-OM．

解答 解：雙曲線的左焦點為F（-2，0），右焦點為F′（2，0），
連接PF′，PF，設PF的中點為M，
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=0，
∴點A在以PF為直徑的圓M上，
∴當AOM三點共線時，OA取得最小值，最小值為MA-OM．
設圓M的半徑為r，則PF=2r，MA=r．
∵P在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，
∴PF-PF′=2$\sqrt{2}$，
∴PF′=2r-2$\sqrt{2}$，
∵OM是△PFF′的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$PF′=r-$\sqrt{2}$，
∴MA-OM=r-（r-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查兩點的距離的最小值的求法，注意運用雙曲線的定義和圓的性質，及三點共線取得最小值，考查運算能力，屬于中檔題