Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₁，左焦點(diǎn)為F₂，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足線段PF₁相切于橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段PF₁的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)線段PF₁的中點(diǎn)為M，利用OM是△F₁PF₂的中位線，以及橢圓的定義求出直角三角形OMF₁的三邊之長，再由勾股定理結(jié)合隱含條件求離心率．

解答 解：設(shè)線段PF₁的中點(diǎn)為M，由題意知，OM=b，又OM是△F₁PF₂的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$PF₂=b，則PF₂=2b，由橢圓的定義知PF₁=2a-PF₂=2a-2b，
又MF=$M{F}_{1}=\frac{1}{2}P{F}_{1}$=$\frac{1}{2}$（2a-2b）=a-b，OF₁=c，
在直角三角形OMF₁中，由勾股定理得：（a-b）²+b²=c²，
又a²-b²=c²，可得2a=3b，
故有4a²=9b²=9（a²-c²），
由此可求得離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義，考查橢圓的簡單性質(zhì)，注意橢圓上任一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2a的應(yīng)用，是中檔題．