Question

3．若a＞$\frac{1}{e}$，則方程lnx-ax=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 無窮多個(gè)

Answer 1

分析 由題意可得a=$\frac{lnx}{x}$，由f（x）=$\frac{lnx}{x}$，求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極大值，也為最大值，結(jié)合圖象即可得到所求根的個(gè)數(shù)．

解答 解：方程lnx-ax=0，即為a=$\frac{lnx}{x}$，
由f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=e時(shí)，f（x）取得極大值，且為最大值$\frac{1}{e}$，
即有$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$，
由a＞$\frac{1}{e}$，可得方程lnx-ax=0無實(shí)根．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查方程的根的個(gè)數(shù)的求法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查運(yùn)算能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．