【題目】由單位正方形組成的無(wú)限格陣的每個(gè)單位正方形內(nèi)都寫有一個(gè)整數(shù).若每個(gè)方格內(nèi)的整數(shù)等于其上方和左方與其相鄰的兩個(gè)方格內(nèi)的整數(shù)之和,且存在一行,其中,所有方格內(nèi)的數(shù)都是正整數(shù).記下面一行為下面一行為,證明:對(duì)于每個(gè)正整數(shù),上不能有個(gè)方格內(nèi)的整數(shù)都是0.

【答案】見解析

【解析】

為敘述方便,在格陣中任取一列稱為第0列,從第0列向左依次為第列,第列,從第0列向右依次為第1列,第2列,

行的第列格內(nèi)的數(shù)為.

由題設(shè)知, ①

.

記函數(shù).

首先證明一個(gè)引理.

引理:對(duì)確定的,可把整數(shù)集劃分成至多個(gè)區(qū)間,使得在這個(gè)區(qū)間內(nèi)分別單調(diào),且在相鄰兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性不同.

證明:對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)時(shí),由式①,②知上單調(diào)遞增.結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立。

現(xiàn)考慮的情形.

由歸納假設(shè),可把劃分成至多個(gè)區(qū)間,使得在這個(gè)區(qū)間內(nèi)分別單調(diào)且在相鄰兩區(qū)間內(nèi)單調(diào)性不同.

依次考慮每個(gè)區(qū)間.

由于在每個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào),于是,或者可在區(qū)間中某兩個(gè)整數(shù)間插入一個(gè)“分隔符”,使得這個(gè)區(qū)間被分成兩個(gè)子區(qū)間,在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)取值同號(hào),而兩個(gè)子區(qū)間異號(hào);或者在整個(gè)區(qū)間內(nèi)取值同號(hào)(此時(shí)不插入分隔符),這樣一共至多插入個(gè)分隔符,它們把劃分成個(gè)區(qū)間,在每個(gè)區(qū)間內(nèi)取值同號(hào),在相鄰兩個(gè)區(qū)間內(nèi)取值異號(hào).

由式①知,若在區(qū)間上取值同號(hào),則在同一個(gè)區(qū)間上單調(diào),且單調(diào)性與上取值的符號(hào)有關(guān)(正則增,負(fù)則減).

于是,當(dāng),時(shí),結(jié)論成立.

回到原題.

由引理,可把劃分成至多個(gè)區(qū)間,使得在這個(gè)區(qū)間內(nèi)分別單調(diào),且在相鄰兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性不同.

在任一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)至多一處取0,則至少有個(gè)根.再由的定義知,行上至多有個(gè)方格內(nèi)的整數(shù)是0.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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題號(hào)

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

0.100

第2組

第3組

20

第4組

20

0.200

第5組

10

0.100

第6組

100

1.00

(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成如下的頻率分布直方圖;

(2)組委會(huì)決定在5名(其中第3組2名,第4組2名,第5組1名)選手中隨機(jī)抽取2名選接受考官進(jìn)行面試,求第4組至少有1名選手被考官面試的概率.

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A.B.C.D.

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甲:;

乙:函數(shù)上是增函數(shù);

丙:函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱;

。喝,則關(guān)于的方程上所有根之和為其中正確的是( ).

A. 甲,乙,丁 B. 乙,丙 C. 甲,乙,丙 D. 甲,丁

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1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出,可用線性回歸模型擬合的關(guān)系,請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說(shuō)明(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合);

2)求關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為千克時(shí),西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少?

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