Question

5．在平面直角坐標系中xOy中，角α的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊交單位圓于點A，且α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，將角α的終邊繞原點逆時針方向旋轉$\frac{π}{3}$，交單位圓于點B，過點B作BC⊥y軸于C，
（1）若點A的縱坐標為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求B點的橫坐標；
（2）求△AOC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）先分別表示出A，B的坐標，求得sinα的值，進而求得α，則B的橫坐標可求．
（2）分別表示出|OA|，|OC|和∠AOC，利用三角形面積公式表示出S，利用兩角和公式化簡，根據α的范圍確定S的最大值．

解答 解：（1）由定義得，A（cosα，sinα），
B（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），
依題意知sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
所以α=$\frac{π}{3}$，
所以點B的橫坐標為：cos（α+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
（2）∵|OA|=1，|OC|=sin（α+$\frac{π}{3}$），∠AOC=$\frac{π}{2}$-α，
∴S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OC|sin∠AOC
=$\frac{1}{2}$sin（α+$\frac{π}{3}$）sin（$\frac{π}{2}$-α）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα）cosα
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$sinαcosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²α）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$
=$\frac{1}{4}$sin（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∵α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴（2α+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$），
∴當2α+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，即α=$\frac{π}{4}$時，sin（2α+$\frac{π}{3}$）取最大值$\frac{1}{2}$，
∴S的最大值為$\frac{1+\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題主要考查了三角函數的定義，最值，兩角和與差的三角公式，二倍角公式三角函數的恒等變換等．考查了運算求解能力，數形結合思想，轉化與化歸思想的運用，屬于中檔題．