Question

9．方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4有兩個小于1的正根α，β．
（1）若lgα+lgβ=-$\frac{9}{2}$，求a的值；
（2）若|lgα-lgβ|≤2$\sqrt{3}$，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將已知方程轉(zhuǎn)化為一般式方程，然后由根與系數(shù)的關(guān)系來求a的值；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系和對數(shù)的運算性質(zhì)將|lgα-lgβ|≤2$\sqrt{3}$轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，通過解不等式求得a的取值范圍．

解答 解：由方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4有兩個小于1的正根α，β，得
2lg²x+3lgalgx+lg²a-4=0．
（1）∵α，β是方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4，即2lg²x+3lgalgx+lg²a-4=0的兩個正根，
∴l(xiāng)gα+lgβ=-$\frac{3}{2}$lga=-$\frac{9}{2}$，
∴l(xiāng)ga=3，
則a=1000；
（2）∵lgα+lgβ=-$\frac{3}{2}$lga，lgα•lgβ=$\frac{l{g}^{2}a-4}{2}$，
∴|lgα-lgβ|²=（lgα+lgβ）²-4lgα•lgβ≤12，
∴$\frac{9}{4}$lg²a-2lg²a+8≤12，
解得-4≤lga≤4，
又∵方程（lga+lgx）•（lga+2lgx）=4有兩個小于1的正根α，β，
∴l(xiāng)ga＞0且lgα•lgβ=$\frac{l{g}^{2}a-4}{2}$＞0，
解得lga＞2，
∴2＜lga≤4
∴實數(shù)a的取值范圍是（100，10000]．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)和根的存在性及根的個數(shù)判斷．還考查運算能力，屬于中檔題．