Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=2，S_n+1=4a_n+2．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出數(shù)列{a_n+1-2a_n}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，問題得以證明；
（2）由a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，得到數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，問題得以解決．

解答 解：（1）由S₂=4a₁+2有a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=3a₁+2=8，
故a₂-2a₁=4，
又a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1+2-（4a_n+2）=4a_n+1-4a_n，
于是a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
因此數(shù)列{a_n+1-2a_n}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
因為b_n=a_n+1-2a_n，
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
（2）由（1）可得a_n+1-2a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
于是$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
因此數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
所以$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+n-1=n，
所以a_n=n•2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．