Question

15．已知拋物線C的方程為x²=4y，M（2，1）為拋物線C上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．
（1）求|MF|；
（2）設(shè)直線l₂：y=kx+m與拋物線C有唯一的公共點(diǎn)，且與直線l₁：y=-1相交于點(diǎn)Q，試問，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義，即可得到所求|MF|；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，由直線l₂：y=kx+m與拋物線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l₂與拋物線C相切，利用導(dǎo)數(shù)求出直線l₂的方程，進(jìn)而求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，利用$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=0，求出N點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線C的方程為x²=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=-1，
由拋物線的定義可得|MF|=1+1=2；
（2）由拋物線C關(guān)于y軸對稱可知，若存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，
則點(diǎn)N必在y軸上，設(shè)N（0，n），
又設(shè)點(diǎn)P（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
由直線l₂：y=kx+m與拋物線C有唯一公共點(diǎn)P知，直線l與拋物線C相切，
由y=$\frac{1}{4}$x²得y′=$\frac{1}{2}$x，可得直線l2的斜率為$\frac{1}{2}$x₀，
可得直線l的方程為y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
令y=-1得x=$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{0}}$，
可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{0}}$，-1），
即有$\overrightarrow{NP}$=（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-n），$\overrightarrow{NQ}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}$-$\frac{2}{{x}_{0}}$，-1-n），
由點(diǎn)N在以PQ為直徑的圓上，
可得$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$-（1+n）（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-n）=（1-n）•$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+n²+n-2=0，（*）
要使方程（*）對x₀恒成立，必須有$\left\{\begin{array}{l}{1-n=0}\\{{n}^{2}+n-2=0}\end{array}\right.$，解得n=1，
則在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N，其坐標(biāo)為（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義及直線與拋物線的位置關(guān)系，這類題目考查比較靈活，解決問題時(shí)注意幾何關(guān)系向代數(shù)關(guān)系（即坐標(biāo)關(guān)系）的轉(zhuǎn)化．