Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2a}$x²-lnx，其中a＞0．
（1）當a=4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x∈[1，2]時，不等式f（x）＞1恒成立，其實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，當a=1時寫出函數(shù)式，對函數(shù)求導(dǎo)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）利用（1）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的極值，進一步求出函數(shù)的最值，得到參數(shù)a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2a}$x²-lnx（x＞0），其中a為非零常數(shù)，
當a=4時，f（x）=$\frac{1}{8}$x²-lnx，
f′（x）=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-4}{4x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
（2）當x屬于[1，2]，lnx＞0，
當a＞0時，命題可轉(zhuǎn)化為對于任意x屬于[1，2]，都有a＜$\frac{{x}^{2}}{2（1+lnx）}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2（1+lnx）}$，對函數(shù)求導(dǎo)得g′（x）=$\frac{2x+4xlnx}{{4（1+lnx）}^{2}}$=0
∴x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$時，導(dǎo)數(shù)等于零，
在[1，2]內(nèi)，g′（x）＞0，g（x）_min=g（1）=$\frac{1}{2}$，
經(jīng)驗證這是函數(shù)g（x）在這個閉區(qū)間[1，2]上最小值，
∴g（x）的最小值是g（1）=$\frac{1}{2}$，
∴x∈[1，2]時，g（x）＞0，即當0＜a≤$\frac{1}{2}$時，不等式f（x）＞1恒成立，
當a＜0時，$\frac{1}{2a}$＞$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$在x屬于[1，2]時，不合題意．
綜上可知a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的在區(qū)間上的最值，應(yīng)該先求出導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，同時求出函數(shù)的區(qū)間端點值，選出最值．