Question

5．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=3，2a_n=S_nS_n-1（n≥2）．
（1）求證：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在正整數(shù)k，使得不等式a_k≥a_k+1對(duì)任意不小于k的正整數(shù)都成立？若存在，求出最小的正整數(shù)k，否則請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得S_n-S_n-1=S_nS_n-1，n≥2，S_n≠0，從而得到數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以$-\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得S_n，再由a_n=S_n-S_n-1求得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求出a₂＜0，自數(shù)列第三項(xiàng)起均大于0，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得存在正整數(shù)k=3，得不等式a_k≥a_k+1對(duì)任意不小于k的正整數(shù)都成立．

解答 （1）證明：由2a_n=S_nS_n-1（n≥2），得2（S_n-S_n-1）=S_nS_n-1（n≥2），
∴$\frac{1}{{S}_{n-1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=-\frac{1}{2}$（n≥2）．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{3}$為首項(xiàng)，以$-\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）知，$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}（n-1）=\frac{5}{6}-\frac{n}{2}$，
∴${S}_{n}=\frac{6}{5-3n}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{6}{5-3n}-\frac{6}{5-3（n-1）}$=$\frac{18}{（5-3n）（8-3n）}$．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{\frac{18}{（5-3n）（8-3n）}，n≥2}\end{array}\right.$；
（3）解：a₁=3＞0，a₂=-9＜0，當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＞0．
∵g（n）=（5-3n）（8-3n）=9n²-39n+40在[3，+∞）上為增函數(shù)，且有g(shù)（n）＞0，
∴g（n+1）＞g（n），即a_n+1＜a_n．
∴存在正整數(shù)k=3，得不等式a_k≥a_k+1對(duì)任意不小于k的正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，訓(xùn)練了數(shù)列函數(shù)特性的應(yīng)用，是中檔題，