Question

10．已知點(diǎn)B（0，2），C（2，4）．向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{OC}$方向上的投影分別是3和$\frac{7}{5}$$\sqrt{5}$則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{OP}$=（x，y），由向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{OC}$方向上的投影分別是3和$\frac{7}{5}$$\sqrt{5}$，可得$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{2y}{2}$=3，$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{2x+4y}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，聯(lián)立解出即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OP}$=（x，y），
∵向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OB}$和$\overrightarrow{OC}$方向上的投影分別是3和$\frac{7}{5}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{2y}{2}$=3，
$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{2x+4y}{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
聯(lián)立解得y=3，x=1．
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）．
故答案為：（1，3）．

點(diǎn)評 本題考查了向量投影的計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．