Question

12．?dāng)?shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意的n∈N^*，均有2a_n，2S_n，$a_n^2$成等差數(shù)列．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$4{S}_{n}=2{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}$，取n=1，化為關(guān)于a₁的一元二次方程求得a₁的值；
（2）對(duì)于n≥1，有$4{S_n}=2{a_n}+a_n^2$，因此$4{S_{n-1}}=2{a_{n-1}}+a_{n-1}^2，n≥2$，兩式作差后可得{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求．

解答 解：（1）∵2a_n，2S_n，$a_n^2$成等差數(shù)列，
∴$4{S}_{n}=2{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}$，
當(dāng)n=1時(shí)，有$4{S_1}=2{a_1}+a_1^2$，即$4{a_1}=2{a_1}+a_1^2$．
∴a₁（a₁-2）=0，
由于a₁＞0，故a₁=2；
（2）對(duì)于n≥1，有$4{S_n}=2{a_n}+a_n^2$，①
因此$4{S_{n-1}}=2{a_{n-1}}+a_{n-1}^2，n≥2$ ②
由①-②得，$4{a_n}=2{a_n}-2{a_{n-1}}+a_n^2-a_{n-1}^2$．
即2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）．
由于a_n和a_n-1均為正數(shù)，故a_n-a_n-1=2，n≥2．
從而{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列．
因此，a_n=2n，n≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．