Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=pn²+qn+r，其中p、q、r是常數(shù)，n∈N^*．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列且p=5，q=13，r=-2，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）①求證：當(dāng)3p-q+r=0時，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
②若r=0，且{a_n}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，設(shè)T_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{i}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{i+1}}^{2}}}$，Q_n=$\sum_{i=1}^{n}$（T_i-1），試問：是否存在非零函數(shù)f（x），使得f（n）Q₁Q₂…Q_n=1，對一切正整數(shù)n都成立，若存在，求出f（x）的解析式，否則，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，利用a_n+S_n=pn²+qn+r計算即得結(jié)論；
（2）①通過a_n+S_n=pn²+qn+r、a_n+1+S_n+1=p（n+1）²+q（n+1）+r可得2a_n+1-a_n=p（2n+1）+q、2a_n+2-a_n+1=p（2n+3）+q，進(jìn)而有2（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2p，記b_n=a_n+1-a_n，則2（b_n+1-2p）=b_n-2p，取n=1、2，整理即得結(jié)論；②通過①可知a_n=n，化簡可得T_n=1+$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+1}$，從而Q_n=$\frac{n}{n+1}$，利用（n+1）Q₁Q₂…Q_n=1即可．

解答 （1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a_n+S_n=pn²+qn+r，
∴a₁+（n-1）d+na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=5n²+13n-2，
即：$\fracqril9d7{2}$n²+$（{a}_{1}+\frac9fqpk78{2}）$n+（a₁-d）=5n²+13n-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\fraccj26t6d{2}=5}\\{{a}_{1}-d=-2}\\{{a}_{1}+\fracss7sent{2}=13}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{d=10}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)：a_n=10n-2；
（2）①證明：已知3p-q+r=0時，
∵a_n+S_n=pn²+qn+r，∴a_n+1+S_n+1=p（n+1）²+q（n+1）+r，
兩者相減得：2a_n+1-a_n=p（2n+1）+q，
∴2a_n+2-a_n+1=p（2n+3）+q，
兩者相減得：2a_n+2-3a_n+1+a_n=2p，
即有2（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2p，
記b_n=a_n+1-a_n，則2b_n+1-b_n=2p，
∴2（b_n+1-2p）=b_n-2p，
令n=1，代入a_n+S_n=pn²+qn+r得：a₁=2p+r，
令n=2，代入a_n+S_n=pn²+qn+r得：a₂=4p+r，
∴b₁=a₂-a₁=2p，即b₁-2p=0，
∴b_n-2p=0，即b_n=2p為常數(shù)，
即a_n+1-a_n=2p為常數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是以2p+r為首項(xiàng)、2p為公差的等差數(shù)列；
②結(jié)論：存在非零函數(shù)f（x）=x+1，使得f（n）Q₁Q₂…Q_n=1，對一切正整數(shù)n都成立．
理由如下：
∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，由①知公差d=1，∴a_n=n，
∴T_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{{a}_{i}}^{2}}+\frac{1}{{{a}_{i+1}}^{2}}}$
=$\sqrt{1+\frac{1}{{i}^{2}}+\frac{1}{（i+1）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{{i}^{2}（i+1）^{2}+（i+1）^{2}+{i}^{2}}{{i}^{2}（i+1）^{2}}}$
=$\frac{i（i+1）+1}{i（i+1）}$
=1+$\frac{1}{i（i+1）}$
=1+$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+1}$，
∴Q_n=$\sum_{i=1}^{n}$（T_i-1）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$，
∴Q₁Q₂…Q_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•…•$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$，
即（n+1）Q₁Q₂…Q_n=1，
∴f（x）=x+1．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列的綜合題，考查求通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．