Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-a₁，且a₁+4是a₂，a₃的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{n}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n，求證：$\frac{1}{2}≤{T_n}＜2$．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1（n＞1）計(jì)算可知a_n=2a_n-1（n＞1），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）得$\frac{n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由已知S_n=2a_n-a₁，有a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n＞1），
即a_n=2a_n-1（n＞1）．------------------（2分）
從而a₂=2a₁，a₃=4a₁．
又因?yàn)閍₁+4是a₂，a₃的等差中項(xiàng)，即2（a₁+4）=a₂+a₃．
解得a₁=2．----------（3分）
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
故${a_n}={2^n}$…（4分）
（2）由（1）得$\frac{n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$，所以${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
$2{T_n}=1+1+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
兩式相減${T_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}=\frac{{1-{{（\frac{1}{2}）}^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$…（8分）
因?yàn)?\frac{n+2}{2^n}$-$\frac{n+3}{{{2^{n+1}}}}$=$\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}＞0$，所以數(shù)列$\left\{{\frac{n+2}{2^n}}\right\}$遞減…（10分）
即$0＜\frac{n+2}{2^n}≤\frac{3}{2}$，從而$\frac{1}{2}≤{T_n}＜2$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．