Question

5．在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是菱形，并且PA=3，AB=2，∠ABC=60°，點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)．
（1）證明：PD⊥AQ；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明PD⊥面PAD即可證明PD⊥AQ；
（2）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，即可求二面角B-PC-D的余弦值．

解答 （1）證明：∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是菱形，
∴PA⊥AQ，
∵∠ABC=60°，點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)．
∴AQ⊥AD，
∵PA∩AD=A，
∴PD⊥面PAD，
∴PD⊥AQ；
（2）∵PA=3，AB=2，∠ABC=60°，
∴AB=AC=AD=2，
則PB=PC=PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，
則△PBC≌△PCD，
過(guò)B作BH⊥PC，連接DH，
則DH⊥PC，
即∠BHD是二面角B-PC-D的平面角，
∵AQ=$\sqrt{3}$，∴PQ=$\sqrt{9+3}=\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
則$\frac{1}{2}$PQ•BC=$\frac{1}{2}$PC•BH，
即BH=DH=$\frac{PQ•BC}{PC}$=$\frac{2\sqrt{3}×2}{\sqrt{13}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，
則cos∠BHD=$\frac{D{H}^{2}+B{H}^{2}-B{D}^{2}}{2DH•BH}$=$\frac{\frac{48}{13}+\frac{48}{13}-12}{2×\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{13}}×\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{13}}}$=-$\frac{5}{8}$
即二面角B-PC-D的余弦值是-$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線垂直的判斷以及二面角的求解，利用二面角的定義作出二面角的平面角結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．