Question

14．函數(shù)f（x）=x²+x+sinx+cosx+c的圖象不過坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x∈[-π，π]時(shí)，f（x）的圖象不存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，則c可取到的最大負(fù)整數(shù)是-9．

Answer 1

分析 假設(shè)f（x）圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為x，則f（x）+f（-x）=0，x∈（0，π]，得出c關(guān)于x的函數(shù)，求出函數(shù)c（x）的值域即c的范圍M，則符合條件的c為集合M的補(bǔ)集，得出答案．

解答 解：∵f（x）的圖象不過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴f（0）≠0，即1+c≠0，∴c≠-1．
假設(shè)f（x）的圖象存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x，f（x）），（-x，-f（x））．x∈（0，π]
則f（x）+f（-x）=0，
∴2x²+2cosx+2c=0，
∴c=-x²-cosx，
∴c′（x）=-2x+sinx＜0．
∴c（x）在（0，π]上單調(diào)遞減，
∴1-π²≤c＜-1，
∵f（x）的圖象不存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，∴c≥-1或c＜1-π²≈-8.87．
又∵c≠-1，
∴c可取到的最大負(fù)整數(shù)為-9．
故答案為：-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，屬于中檔題．