Question

10．已知$\overrightarrow m$=（sinB，1-cosB），$\overrightarrow n$=（2，0），且$\overrightarrow m，\overrightarrow n$的夾角為$\frac{π}{3}$，其中A，B，C為△ABC的內(nèi)角．
（1）求角B的大�。�
（2）求sin²A+sin²C的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的夾角公式建立關(guān)系，化簡即得到角B的大小；
（2）由題意，A，B，C為△ABC的內(nèi)角，消去其中一個角，利用三角函數(shù)的有界限，即可求出范圍．

解答 解：由題意：$\overrightarrow m，\overrightarrow n$的夾角為$\frac{π}{3}$，根據(jù)平面向量的夾角公式：
得：cos$\frac{π}{3}$=$\frac{2×sinB+0×（1-cosB）}{\sqrt{si{n}^{2}B+（1-cosB）^{2}}•\sqrt{0+{2}^{2}}}$
?$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2sinB}{2•\sqrt{-2cosB}}$
?$\sqrt{3}•\sqrt{-2cosB}=2sinB$
∵$\sqrt{-2cosB}有意義$，∴cosB＜0．
解得：cosB=-$\frac{1}{2}$；
所以：B=$\frac{2π}{3}$．
（2）由題意：A，B，C為△ABC的內(nèi)角．A+B+C=π
∴A+C=$\frac{π}{3}$
sin²A+sin²C=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2A+\frac{1}{2}-cos2C$
=$-\frac{1}{2}（cos2A+cos2C）+1$
=$-\frac{1}{2}$[cos2A+cos2（$\frac{π}{3}-A$）]+1
=$-\frac{1}{2}sin（2A+\frac{π}{6}）+1$
∵$A∈（0，\frac{π}{3}）$，
∴2A$+\frac{π}{6}∈$（$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$）．
由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：當(dāng)2A$+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$時，sin²A+sin²C取得最小值$\frac{1}{2}$；
當(dāng)2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$時，sin²A+sin²C取得最大值1；
但∵2A$+\frac{π}{6}∈$（$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$），取不到$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，
∴sin²A+sin²C最大值小于1
所以：sin²A+sin²C的取值范圍是：[$\frac{1}{2}，1$）

點評 本題考查了平面向量的夾角公式的運算與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的結(jié)合，同時考查了解三角形的化簡能力和計算能力．屬于中檔題．