Question

如圖，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．

（Ⅰ）求證：PC⊥DE；

（Ⅱ）若直線AB與平面ADE所成角的正弦值為，求PA的值．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，

所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB=A，

所以BC⊥平面PAB，

因?yàn)锳D⊂平面PAB，

所以BC⊥AD．…（2分）

又AD⊥PB，BC∩PB=B，

所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，…（4分）

又PC⊥AE，AD∩AE=A，

所以PC⊥平面ADE，

因?yàn)镈E⊂平面ADE，

所以PC⊥DE…（6分）

（Ⅱ）解：過點(diǎn)B作BE∥AP，則BZ⊥平面ABC，如圖所示，分別以BA，BC，BZ所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．   …（7分）

設(shè)PA=a，則A（2，0，0），C（0，2，0），P（2，0，a），

因?yàn)镻C⊥平面ADE，所以是平面ADE的一個法向量，

所以向量所成的角的余弦值的絕對值為，…（9分）

又

則，解得a=1

所以PA=1…（12分）